Отыскание параметров выборочного уравнения прямой линии среднеквадратичной регрессии по не сгруппированным данным

↑

▷ Содержание

⇐ ПредыдущаяСтр 29 из 48Следующая ⇒

▷ Похожие статьи

Пусть изучается система количественных признаков (X, Y). В результате n независимых опытов получены и пар чисел (х₁, у₁), (х₂, y₂),..., (х_n, y_n).

Найдем по данным наблюдений выборочное уравнение прямой линии среднеквадратичной регрессии (см. гл. XIV, § 20). Для определенности будем искать уравнение

=kx+b

регрессии Y на X.

Поскольку различные значения x признака Х и соответствующие им значения у признака Y наблюдались по одному разу, то группировать данные нет необходимости. Также нет надобности использовать понятие условной средней, поэтому искомое уравнение можно записать так:

У = kх + b.

Угловой коэффициент прямой линии регрессии Y на Х называют выборочным коэффициентом регрессии Y на Х и обозначают через ρ_yx; он является оценкой коэффициента регрессии β (см. гл. XIV, § 20).

Итак, будем искать выборочное уравнение прямой линии регрессии Y на Х вида

Y = ρ_yxx + b. (*)

Подберем параметры ρ_yx и b так, чтобы точки (х₁, у₁), (х₂, y₂),..., (х_n, y_n), построенные по данным наблюдений, на плоскости хОу лежали как можно ближе к прямой (*). Уточним смысл этого требования. Назовем отклонением разность

Y_i - y_i (i = 1, 2..... n),

где Y_i—вычисленная по уравнению (*) ордината, соответствующая наблюдаемому значению х_i; у_i—наблюдаемая ордината, соответствующая х_i.

Подберем параметры ρ_yx и b так, чтобы сумма квадратов отклонений была минимальной (в этом состоит сущность метода наименьших квадратов). Так как каждое отклонение зависит от отыскиваемых параметров, то и сумма квадратов отклонений есть функция F этих параметров (временно вместо ρ_yx будем писать ρ):

,

или

.

Для отыскания минимума приравняем нулю соответствующие частные производные:

;

.

Выполнив элементарные преобразования, получим систему двух линейных уравнений относительно ρ и b*⁾:

; . (**)

Решив эту систему, найдем искомые параметры:

;

. (***)

Аналогично можно найти выборочное уравнение прямой линии регрессии Х на Y:

= ρ_xy x + C,

где ρ_xy —выборочный коэффициент регрессии Х на Y.

Пример. Найти выборочное уравнение прямой линии регрессии Y на Х по данным n = 5 наблюдений:

х 1,00 1,50 3,00 4,50 5,00

у 1,25 1,40 1,50 1,75 2,25

Решение. Составим расчетную табл. 11.

Найдем искомые параметры, для чего подставим вычисленные по таблице суммы в соотношения (***):

ρ_xy = (5·26,975— 15·8,15)/(5·57,5—15²) ==0,202;

Ь= (57,5·8,15—15·26,975)/62,5= 1,024.

(Для простоты записи вместо условимся писать .

Таблица 11

xi	yi	x2i	xiyi
1,00	1,25	1,00	1,250
1,50	1,40	2,25	2,100
3,00	1,50	9,00	4,500
4,50	1,75	20,25	7,875
5,00	2.25	25,00	11,250

Напишем искомое уравнение регрессии:

Y = 0,202x + 1,024.

Для того чтобы получить представление, насколько хорошо вычисленные по этому уравнению значения Y_i согласуются с наблюдаемыми значениями у_i найдем отклонения Y_i—у_i. Результаты вычислений приведены в табл. 12.

Таблица 12

Как видно из таблицы, не все отклонения достаточно малы. Это объясняется малым числом наблюдений.

§ 5. Корреляционная таблица

При большом числе наблюдений одно и то же значение х может встретиться n_x раз, одно и то же значение у — n_y раз, одна и та же пара чисел (х, у) может наблюдаться n_xy раз. Поэтому данные наблюдений группируют, т. е. подсчитывают частоты n_x, n_y, n_xy. Все сгруппированные данные записывают в виде таблицы, которую называют корреляционной.

Поясним устройство корреляционной таблицы на примере табл. 13.

Таблица 13

В первой строке таблицы указаны наблюдаемые значения (10; 20; 30; 40) признака X, а в первом столбце— наблюдаемые значения (0,4; 0,6; 0,8) признака Y. На пересечении строк и столбцов находятся частоты n_xy наблюдаемых пар значений признаков. Например, частота 5 указывает, что пара чисел (10; 0,4) наблюдалась 5 раз. Все частоты помещены в прямоугольнике, стороны которого проведены жирными отрезками. Черточка означает, что соответственная пара чисел, например (20; 0,4), не наблюдалась.

В последнем столбце записаны суммы частот строк. Например, сумма частот первой строки «жирного» прямоугольника равна n_y = 5+7+ 14 = 26; это число указывает, что значение признака Y, равное 0,4 (в сочетании с различными значениями признака X), наблюдалось 26 раз.

В последней строке записаны суммы частот столбцов. Например, число 8 указывает, что значение признака X, равное 10 (в сочетании с различными значениями признака Y), наблюдалось 8 раз.

В клетке, расположенной в нижнем правом углу таблицы, помещена сумма всех частот (общее число всех наблюдений n). Очевидно, . В нашем примере

= 8+21+13+18=60 и = 26+12+22 = 60.

Познавательные статьи:



Где возникла философия и почему?

Относительная высота сжатой зоны бетона

Сущность проекции Гаусса-Крюгера и использование ее в геодезии

Тарифы на перевозку пассажиров