Сопоставление формул динамики поступательного движения и динамики вращательного движения

где a = d²x/dt² = - ω₀² x - ускорение материальной точки;

F = å F _i- результирующая сила, под действием которой совершается гармоническое колебание (возвращающая сила);

F _i - i-я сила, действующая на материальную точку.

Тогда

F = - mω₀²x = - kx, (4.2)

где k = mω₀² - коэффициент возвращающей силы, физический смысл которого заключается в том, что он численно равен возвращающей силе, вызывающей единичное смещение.

Из уравнения (4.2) видно, что сила, под действием которой совершается гармоническое колебание, пропорциональна смещению и направлена в сторону противоположную ему. Она называется возвращающей силой. Возвращающая сила стремится вернуть материальную точку в положение равновесия.

Возвращающие силы могут иметь различную природу. Например, они могут возникать за счет деформации. Силы, возникающие за счет упругой деформации, называются упругими. Силы, имеющие иную природу, - квазиупругими (как бы упругими).

Таким образом, уравнение движения материальной точки при гармоническом колебательном движении имеет вид

или . (4.3)

С точки зрения математики уравнение (4.3) - однородное дифференциальное второго порядка, решением которого является выражение вида

x = x₀×sin(ω₀t + φ₀), (4.4)

где x - смещение;

x₀ - амплитуда;

ω₀ - собственная (круговая или циклическая) частота;

φ₀ - начальная фаза.

Решая дифференциальное уравнение гармонического колебательного движения, можно получить значение, например, периода колебаний, собственной частоты.

4.2. Примеры гармонических осцилляторов. Физический, математический и пружинный маятники.
Определение их периодов и частот

Гармоническим осциллятором называется система, совершающая колебания, описываемые уравнением вида (4.3):

или .

Колебания гармонического осциллятора являются примером периодического движения и служат точной или приближенной моделью во многих задачах классической и квантовой физики.

В качестве примеров гармонических осцилляторов рассмотрим гармонические колебания систем, называемых пружинным, физическим и математическим маятниками.

В данном случае действие силы тяжести не учитывается, т.к. оно приводит лишь к некоторому смещению тела из положения равновесия (точнее, к смещению самого положения равновесия) и никак не влияет на колебательный процесс. Беря проекцию силы упругости на ось , запишем:

или . (4.5)

Разделив на обе части дифференциального уравнения и введя обозначение , перепишем уравнение в следующем виде:

. (4.6)

Решением дифференциального уравнения (4.6) является функция , подстановка которой обращает уравнение в тождество. В данном случае решением является функция

. (4.7)

В чем нетрудно убедиться, осуществив подстановку:

, ;

. (4.8)

Параметр называется собственной частотой свободных незатухающих колебаний. Таким образом, выведенная из равновесия система совершает незатухающие гармонические колебания с вполне определённой для неё частотой .

Решая дифференциальное уравнение, можно получить выражения для собственной частоты и периода колебаний пружинного маятника. Для чего в дифференциальное уравнение (уравнение движения пружинного маятника) необходимо подставить значения x = x₀×sin(ω₀t + φ₀) и d²x/dt² = - ω₀²x. Будем иметь

- mω₀²x + kx = 0; - mω₀² + k = 0, (4.7)

откуда

. (4.9)

Так как T = 2π/ω₀, то для периода колебаний пружинного маятника получим

. (4.10)

Надо отметить, что приведенное справедливо для упругих колебаний в пределах, в которых выполняется закон Гука, т.е. когда масса пружины мала по сравнению с массой тела.

Анализируя колебательный процесс, мы приходим к выводу, что признаками колебательной системы являются следующие три:

1) положение равновесия, 2) возвращающая сила, 3) инерция.