Закон распределения случайной величины.

Законом распределения случайной величины называется любое со­отношение, связывающее возможные значения этой случайной ве­личины и соответствующие им вероятности. Закон распределения дискретной случайной величины задается чаще всего не функцией распределения, а рядом распределения, т.е, таблицей

В которой x1, x2,..., xn,... - расположенные по возрастанию значения дискретной случайной величины X, а р1, р₂,..., р_п,... — отвечающие этим значениям вероятности: p_i = Р{Х = хi), i= 1, 2,..., п,.... Число столбцов в этой таблице может быть конечным (если соответствующая случайная величина принимает конечное число значений) или бесконечныи. Очевидно, S pi= 1.

Многоугольником распределения дискретной случайной величины X называется ломаная, соединяющая точки {xi; pi), расположенные в Порядке возрастания хi.

Функция распределения ДСВ

Если  - дискретная случайная величина, принимающая значения x ₁ < x ₂ < … < x_i < … с вероятностями p ₁ < p ₂ < … < p_i < …, то таблица вида

называется распределением дискретной случайной величины.

Функция распределения случайной величины, с таким распределением, имеет вид

У дискретной случайной величины функция распределения ступенчатая

Математические операции над ДСВ

1. Произведение к на х называется случайная величина, которая принимает значение кх_i с теми же самыми вероятностями.

2. Возведение случайной величины в степень: m -ой степенью СВ х называется СВ, которая принимает значение х_i^m c теми же самыми вероятностями.

3. Суммой (разностью, произведением) СВ Х и Y называется СВ, которая принимает все возможные значения

х_i+y_j (x_i-y_j; x_iy_j) с вероятностями того, что СВ Х принимает значение х_i, а СВ Y принимает значение у_j, т.е.

р - вероятность того, что Р(Х=х_i и Y=у_j) равны произведению вероятностей событий: р(Х=х_i)*p(Y=y_j)

Математическое ожидание ДСВ

Мат. Ожиданием Д.С.В. называют сумму произведений всех ее возможных значений на их вероятности: М(Х)=х1р1+х2р2+…+хnpn. Если Д.С.В. принимает счетное множество возможных значений, то М(Х)=сумма по i от 1 до бесконечности xipi, причем мат. ожидание существует, если ряд в правой части равенства сходится абсолютно. Мат. ожидание обладает следующими свойствами: 1) Мат. ожидание постоянной величины равно самой постоянной: М(С)=С. 2) Постоянный множитель можно выносить за знак мат. ожидания: М (СХ)=СМ (Х). 3) Мат. ожидание произведения взаимно независимых С.В. равно произведению мат. ожиданий сомножителей: М (Х1,Х2…Хn)=M(X1)*M(X2)…M(Xn). 4) Мат. ожидание суммы С.В. равно сумме мат. ожиданий слагаемых:

М (Х1+Х2+Х3+…+Хn)=M(X1)+M(X2)+M(X3)+…+M(Xn).

Математическое ожидание числа появлений события в нез. исп.

Пусть производят n - независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления некоторого события А постоянна и равняется числу p.

Pⁿ(A) = p. Чему равно среднее число появления события А в этих испытаниях?

Х –СВ, отражающая число появления события А в n - независимых испытаний.

М(Х)=?

Теорема: мат. Ожидание числа появлений события А в n- независимых испытаниях равно произведению числа испытаний (n) на вероятность появления события А в каждом отдельном испытании (т.е. на р).

М(Х) = np

Док – во:

Х₁ -число появлений события А в 1-м испытании.

Х₂- число появлений события А во 2-м испытании.

Х_n- число появлений события А в n испытании.

Х= Х₁+Х₂+…+Х_n

М(Х)=М(Х₁)+М(Х₂)+…+М(Х_n)

Х₁ 0 1

Р 1-р р

М(Х₁)= 0*(1-р)+1*р=р

М(Х₂)=1*р=р

М(Х_n)=р=>М(Х)=р+р+…+р(n раз)=np

Дисперсия ДСВ

Дисперсией D(X) СВ называют матем. ожидание квадрата ее отклонения от мат. ожидания, т.е. D(X)=M(X-M(X))². Выбор дисперсии, определяемой по предыдущ. формуле в кач-ве хар-ки рассеивания значения СВ оправдывается тем, что дисперсия обладает св-вом минимальности. Это означает, что дисп. равна . Если X – это дискретн. СВ, то D(X)= . Если X – это непрерывн. СВ, принимающ. значения отрезка [a,b], то D(X)= f(x)dx, где f(x) – функция плотности распределения непрерывн. СВ X. D(X) имеет размерность квадрата СВ, что не всегда удобно, поэтому в кач-ве показателя рассеивания используют также величину . Ее называют средним квадратич. отклонением. Основн. св-ва дисперсии: 1) Дисперс. алгебраич. суммы 2-ух независим. СВ X и Y равна сумме дисперсий этих величин, т.е. D(X Y)=D(X)+D(Y). Доказ-во: D(X Y)= M[(X Y) – M(X Y)]² = M((X Y) – (M(X) M(Y)))² = M((X – M(X) (Y – M(Y)))² = M[(X – M(X))² 2(X – M(X))(Y – M(Y)) + (Y – M(Y))]² = M(X – M(X))² 2M(X – M(X))M(Y – M(Y)) + M(Y – M(Y))² = D(X) + 0 + D(Y) = D(X)+D(Y); 2) Дисперсия постоян. величины равна 0, т.е. D(C)=0. Доказ-во: Т.к. M(C)=C, то D(C)= M(C – M(C))² = M(C – C)² = M(0) = 0; 3) Постоян. множитель С можно выносить за знак дисперсии, возводя его в квадрат, т.е. D(CX)= C²D(X). Доказ-во: D(C)= M(CX – M(CX))² = M(CX – CM(X))² = M(C(X – M(X))²) = M(C²(X – M(X))²) = M(C²)M(X – M(X))² = C²D(X); 4) Дисперсия СВ Х равна разности между мат. ожиданием квадрата СВ и квадратом ее мат. ожидания, т.е. D(X) = M(X²) – (M(X))². Доказ-во: По определ. дисперсии D(X) = M(X – M(X))² = M(X² – 2X M(X) + (M(X))²) = M(X²) – M(2X M(X)) + M(M(X))² = M(X²) – 2M(X) M(X) + (M(X))² = M(X²) – (M(X))². Замечание: При решении практич. задач для вычисления удобнее использовать формулу св-ва (4). Для дискретн. СВ эта формула будет иметь вид: D(X) = - (M(X))². Для непрерывн. СВ: D(X) = - (M(X))².

Познавательные статьи:



Техника нижней прямой подачи мяча

Комплекс физических упражнений для развития мышц плечевого пояса

Стандарт Порядок надевания противочумного костюма

Общеразвивающие упражнения без предметов