Необходимое и достаточное условие дифференцируемости.

↑

▷ Содержание

⇐ ПредыдущаяСтр 2 из 5Следующая ⇒

▷ Похожие статьи

Пусть функция имеет производную в точке (конечную): .

Тогда для достаточно малых можно записать в виде суммы и некоторой функции, которую мы обозначим через , которая стремится к нулю вместе с : ,

и приращение в точке может быть записано в виде:

или (1),

ведь выражение понимается как функция от такая, что ее отношение к стремится к нулю вместе с . Пояснение:

Определение.

Функция называется дифференцируемой в точке , если ее приращение можно представить в виде: (2),

где А не зависит от , но вообще зависит от .

Теорема 1:

Для того, чтобы функция была дифференцируемой в точке , необходимо и достаточно, чтобы она имела конечную производную в этой точке.

Доказательство:

Достаточность условия доказана выше: из существования конечной производной следовала возможность представления в виде (1), где можно положить .

Необходимость условия. Пусть функция дифференцируема в точке . Тогда из (2), предполагая , получаем .

Предел правой части при существует и равен А: .

Это означает, что существует производная . Теорема доказана.

Билет 9

Производные высших порядков. Формула Лейбница.

Пусть функция y=f(x) дифференцируема в точке Xo, то есть существует ее производная в этой точке f ’ (Xo). Пусть f - дифференцируема в некоторой окрестности U(Xo). f’(x) определена на U(Xo) и если дифференцируема в точке Xo, то (f’(Xo))’=f’’(Xo). Вообще

Теорема: (Формула Лейбница)

Билет 10

Дифференциалы высших порядков. Инвариантность формы первого дифференциала. Неинвариантность формы дифференциалов второго и высших порядков.

f(x) дифференцируема,

тогда . Далее, пусть f – n раз дифференцируема,

__________________________

. Докажем, что

1) ,

2) Пусть при n = m

3)

Инвариантность/Неинвариантность.

1) y(x), x – независимая переменная, , пусть x = x(t)

2) y(x), x – независимая переменная, , ,

, здесь , .

Билет 11

Возрастание (убывание) функции в точке. Необходимое и достаточное условие. Теорема Ферма.

Определение 1:. f(x) – возрастает (не убывает) в точке , если

.

Определение 1’. f(x) – возрастает (не убывает) в точке , если

Определение 1’’. f(x) – возрастает (не убывает) в точке , если

Определение 2. f(x) – убывает (не возрастает) в точке , если

.

Определение 2’. f(x) – убывает (не возрастает) в точке , если

Определение 2’’. f(x) – убывает (не возрастает) в точке , если

Теорема 1: (Необходимое условие возрастания (неубывания) функции в точке )

Билет 12

Теорема Ролля.

Теорема:

Если функция непрерывна на , дифференцируема на и , то существует точка , такая, что .

Доказательство:

Так как функция f непрерывна на [a,b], то существует точка x₁, в которой f достигает максимума и точка x₂, в которой f достигает минимума. Рассмотрим 2 случая:

1. Обе точки x₁ и x₂ совпадают с a или b, тогда

И тогда производная

1. Одна из точек не является концевой отрезка [a,b]. Пусть - та из них, которая , тогда в точке достигается локальный экстремум, кроме того, , так как по условию существует . Поэтому по теореме Ферма , что и требовалось доказать.

Контрпример 1

Уберем непрерывность в точке b: теорема потеряет силу.

Контрпример 2

Уберем дифференцируемость в одной из точек: теорема потеряет силу.

Теорема Ролля имеет простой геометрический смысл: если выполнены все условия теоремы, то на графике функции! существует точка касательная в которой параллельна оси x.

Физический смысл: при прямолинейном движении если перемещение тела = 0, то существует момент времени, в который скорость тела = 0.

Билет 13

Познавательные статьи:



Организация работы процедурного кабинета

Статус республик в составе РФ

Понятие финансов, их функции и особенности

Сущность демографической политии