Лемма Каши – Кантера о вложенных промежутках.

↑

▷ Содержание

⇐ ПредыдущаяСтр 3 из 4Следующая ⇒

Определение.

Последовательностью вложенных промежутков называется последовательность промежутков, в которой каждый последний содержится в предыдущем.

<a₁,b₁> <a₂,b₂> <a₃,b₃> … <a_n,b_n>

Последовательность промежутков называется стягивающейся, если длины ее промежутков стремятся к нулю.

lim (b_n – a_n) = 0

n→

Лемма.

Для любой стягивающейся последовательности вложенных замкнутых конечных промежутков существует и единственная точка, принадлежащая всем промежуткам последовательности.

Доказательство.

Рассмотрим стягивающуюся последовательность (1) [a₁,b₁] [a₂,b₂] … [a_n,b_n]

Из (1) следует, что последовательность левых концов a_n возрастает а b_n убывающая

для n, a_n b_n

тогда по теореме о пределе монотонной функции существует и конечен

lim a_n =: c = sup a_n

n→

тогда lim b_n = lim (a_n + (b_n - a_n)) = lim a_n + lim (b_n - a_n) = c

n→ n→ n→ n→

И так как последовательность b_n убывает, то lim b_n = c = inf b_n

n→

Покажем, что с [a_n,b_n] n.

n имеем a_n sup a_n = с = inf b_n b_n a_n с b_n n с [a_n,b_n] n.

Замечание.

Требования вложенности промежутков, замкнутости, стягивания не могут быть опущены.

Например.

(0,1] (0, …

(вложенность, стягивание, но не замкнутость)

Не существует т.С, которая принадлежит всем промежуткам. Если бы точка С существовала, то она в частности принадлежала бы отрезку (0,1], С > 0

b_n = → 0

n→

Значит с некоторого номера b_n окажется меньше С

// > 0 N: n > N

<

Следовательно т.С не принадлежит всем промежуткам.

Лемма Больцано – Вейерштрасса о выделении сходящейся подпоследовательности.

Лемма.

Из всякой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность.

Доказательство.

Пусть дана ограниченная последовательность x₁, x₂, x₃,…,x_n (1)

т.е. a,b: a x_n < b n

Точкой С рассечем отрезок АВ пополам. Рассмотрим промежутки [a,c] и [c,b]

Хотя бы в одном из них находится бесконечное количество членов последовательности.

Возьмем такой или левый из них. Обозначим его [a₁,b₁]. Снова рассечем этот промежуток пополам. Из двух полученных выберем тот, в котором бесконечное число членов последовательности или левый из них.

Промежуток обозначим [a₂,b₂]. Продолжим процесс.

В результате получим [a,b] [a₁,b₁] [a₂,b₂] … [a_n,b_n] стягивающуюся последовательность вложенных замкнутых конечных промежутков,

причем b_n - a_n = → 0

n→

По лемме о вложенных промежутках существует и единственна точка С [a_n,b_n] n,

т.е. С R (C – конечное число)

Из промежутка [a₁,b₁] возьмем какой-нибудь член последовательности, например, с наименьшим номером среди лежащих в этом промежутке. Обозначим его

Из [a₂,b₂] опять выберем некоторый член последовательности с наименьшим номером так, что n₂ > n₁ .

Причем по построению n₁<n₂<…<n_k

[a_k,b_k] a_k b_k где a_k, b_k → C → C по принципу 2-х милиционеров lim = C.

Критерий Больцано – Каши о сходимости последовательности.

Определение.

Последовательность x₁, x₂, x₃,…,x_n называется фундаментальной (или сходящейся в себе) если > 0 Ń() N: n, m > Ń() то | x_n – x_m | <

т.е. последовательность фундаментальная, если её достаточно далекие члены как угодно мало отличаются друг от друга.

Лемма.

Всякая численная последовательность ограниченна.

Доказательство.

Возьмем = 1. Т.к. x_n – фундаментальная, то Ń: | x_n – x_m | < n, m > Ń

Фиксируем m₀ > N, тогда n > Ń | - x_n | < 1 т.е. -1 < x_n < +1

Если обозначить через a = min{ x₁, x₂, x₃,…,x_n; -1}

b = max{ x₁, x₂, x₃,…,x_n; +1}, то получим, что a x_n < b n

Теорема (критерий Больцано – Каши) для сходящейся последовательности.

Для того, чтобы численная последовательность x₁, x₂, x₃,…,x_n сходилсь, необходимо и достаточно, чтобы она была фундаментальной.

Доказательство.

(Необходимость)

Чтобы последовательность была сходящейся, необходимо, чтобы она была фундаментальной.

x_n – сходящаяся существует lim x_n =: p R (1)

n→

> 0 тогда Ń: k > Ń | x_k – p | <

n, m > Ń | x_n – x_m | = | x_n – p + p - x_m | | x_n – p + p - x_m | < | x_n – p| + | p - x_m | <

(Достаточность)

x_n – фундаментальная сходящаяся

x_n – фундаментальная по лемме она является ограниченной по лемме (Б-В) можно выделить сходящуюся подпоследовательность.

: → p R (lim = p (2))

k→ k→

Возьмем > 0

Из (2) K₁ N: | - p | < k > K₁ (3)

Из фундаментальности x_n Ń N: | x_n – x_m | < n, m > Ń (4)

Из (3) (n_k → + ): K₀: K₀ > K₁ и > N

Тогда n > N

Имеем | x_n – p| = | x_n - + - p | < | x_n - | + | - p | < 2

Замечание.

Критерий (Б-К) дает возможность не находя пределы последовательности по поведению её членов (фундаментальность) показать, что она сходится.

Познавательные статьи:



Техника прыжка в длину с разбега

Тактические действия в защите

История Олимпийских игр

История развития права интеллектуальной собственности