Линейные однородные дифференциальные уравнения 2-го порядка

Если все коэффициенты уравнения линейного однородного дифференциального уравнениния непрерывны на отрезке [a;b], а функции y₁(x), y₂(x),..., y _n (x) образуют систему решений соответствующего однородного уравнения, то общее решение неоднородного уравнения имеет вид

y(x,C₁,..., C _n) = C₁ y₁(x) + C₂ y₂(x) +... + C _n y_n (x) + y *(x),

где C₁,...,C _n — произвольные постоянные, y *(x) — частное решение неоднородного уравнения.

Метод Лагранжа (метод вариации произвольных постоянных) — метод для получения общего решения неоднородного уравнения, зная общее решение однородного уравнения без нахождения частного решения.

29) Дифференциальные уравнения второго порядка:

Дифференциальное уравнение второго порядка можно записать в виде . Мы будем рассматривать уравнения второго порядка, которые можно разрешить относительно производной второго порядка, то есть записать в виде

.

Для этих уравнений имеет место теорема существования и единственности решения.

Теорема. Если в уравнении функция и ее частные производные по аргументам y и непрерывны в некоторой области, содержащей , то существует единственное решение уравнения, удовлетворяющее условиям и .

Общим решением дифференциального уравнения второго порядка называется функция , зависящая от двух произвольных постоянных, которая при любых значениях и является решением дифференциального уравнения.

Если в общее решение подставить конкретные значения и , то получится частное решение дифференциального уравнения.

Задача Коши для дифференциального уравнения 2-го порядка (1.1) состоит в отыскании частного решения уравнения, удовлетворяющего начальным условиям: при : , . Однако решение задачи Коши для уравнений 2-го порядка (1.1) при довольно широких предположениях для функций, входящих в уравнение,единственно, т.е. всякие два решения с общим начальным условием , совпадают на пересечении интервалов определения.

30) Линейные однородные дифференциальные уравнения 2-го порядка:

Линейным однородным уравнением второго порядка называется уравнение . Если коэффициенты и постоянны, т.е. не зависят от , то это уравнение называют уравнением с постоянными коэффициентами и записывают его так: .

Уравнение , которое получается из линейного однородного уравнения заменой функции единицей, а и - соответствующими степенями , называется характеристическим уравнением.

Определителем Вронского W(x; y ₁(x), y ₂(x),..., y_n (x)) называется определитель, первая строка которого образована функциями y ₁(x), y ₂(x),..., y_n (x) из C _{n -1}[ a, b ], а последующие строки образованы производными от функций предыдущей строки:

Справедливо следующее необходимое условие линейной зависимости функций.

Если функции y ₁(x), y ₂(x),..., y_n (x) линейно зависимы на отрезке [a;b], то их определитель Вронского тождественно равен нулю на этом отрезке: W(x; y ₁(x), y ₂(x),..., y_n (x)) ≡ 0 на [a;b].

Другими словами, функции y ₁(x), y ₂(x), …, y_n (x) линейно зависимы на интервале (a, b), если существует равная нулю на (a, b) их нетривиальная линейная комбинация. Функции y ₁(x), y ₂(x), …, y_n (x) линейно независимы на интервале (a, b), если только тривиальная их линейная комбинация тождественно равна нулю на (a, b).

31) Линейные неоднородные дифференциальные уравнения 2-го порядка:

Линейное неоднородное уравнение данного типа имеет вид:

где p, q − постоянные числа (которые могут быть как действительными, так и комплексными). Для каждого такого уравнения можно записать соответствующее однородное уравнение:

Теорема: Общее решение неоднородного уравнения является суммой общего решения y ₀(x) однородного уравнения и частного решения y ₁(x) неоднородного уравнения:

Ниже мы рассмотрим два способа решения неоднородных дифференциальных уравнений.