Обобщение полюсного метода Ньютона на многомерный случай

↑

▷ Содержание

⇐ ПредыдущаяСтр 3 из 5Следующая ⇒

▷ Похожие статьи

Переложим вывод одномерного полюсного метода Ньютона (5.36) на векторную основу. Будем при этом руководствоваться геометрическими соображениями, опирающимися на рис. 5.12, и пользоваться теми же обозначениями.

Касательную к кривой в точке () зададим условием ортогональности текущего вектора этой прямой и ее нормального вектора, в качестве которого можно взять вектор . Уравнение прямой, проходящей через полюс и связанную с уже известным приближением точку (), получим из условия коллинеарности текущего вектора этой прямой и ее направляющего вектора . Таким образом, точку пересечения двух прямых, проекцию которой на ось абсцисс считаем новым приближением , находим из совокупности условий

(3.5.1)

Первое из этих условий означает равенство нулю скалярного произведения (n,u), второе — пропорциональность соответствующих координат векторов v и l или, иначе, равенство нулю составленного из них определителя. Следовательно, искомое приближение есть первая компонента вектора, служащего решением линейной системы

(3.5.2)

(вторая компонента — ордината точки пересечения указанных прямых — после вычисления значения может дать информацию об отклонении от функции в точке ее локальной аффинной модели, каковой является проведенная в точке касательная). Ясно, что получаемое из системы (3.5.2) значение тождественно его выражению по формуле (5.36).

Рассмотренный векторный подход к построению одномерного полюсного метода Ньютона служит ключом для его распространения на двумерный случай на основе таких же геометрических, но уже пространственных соображений.

Пусть требуется найти приближенное решение двумерной нелинейной системы (4.3.1) в предположении непрерывной дифференцируемости входящих в нее функций f(x, у) и g(x, у) в некоторой области G, содержащей искомое решение х* =(х*; у*) и приближения к нему k = 0,1,2,....

Будем считать, что уже найдено k-е приближение к решению х* и нужно получить правило перехода к (k+1)-му приближению. В сделанном предположении о гладкости функций f(x, у) и g(x, у) можно провести касательные плоскости в точке () определяемым ими поверхностям

z = f(x,y) и z = g(x,y). (3.5.3)

Эти плоскости задаются текущими векторами

и нормалями

соответственно, т.е. аналогично первому из условий (3.5.1) должно быть иначе,

. (3.5.4)

Пересечение двух касательных плоскостей, т.е. образ, определяемый уравнениями (3.5.4), есть прямая в трехмерном пространстве, общая точка которой с координатной плоскостью Оху является ньютоновским приближением к решению х* сиcтемы (4.3.1). Наша цель — построить третью плоскость, пересечение которой с упомянутой прямой (линией пересечения касательных плоскостей) давало бы точку в пространстве R₃ такую, проекция которой на плоскость Оху могла бы оказаться ближе к х*, чем .

Чтобы осуществить поставленную цель, зафиксируем в R₃ две несовпадающие между собой и с точки — полюсы и . Через указанные три точки можно провести единственную плоскость (которая здесь играет роль прямой, проходящей через полюс и точку (х_к; 0) в одномерной ситуации). Взяв текущую точку М(х; у; z) и образовав текущий вектор этой третьей плоскости, можно задать ее условием компланарности трех векторов- и (что служит аналогом второго из условий (3.5.1)).

Запишем совокупность всех трех описанных средствами векторной алгебры плоскостей в координатной форме. Имеем:

Первые две координаты вектора (x;y;z), служащего реше­нием полученной системы уравнений, считаем искомым приближением ().Введя поправки

Познавательные статьи:



Организация работы процедурного кабинета

Статус республик в составе РФ

Понятие финансов, их функции и особенности

Сущность демографической политии